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Descrizione
L'andamento in funzione dell'energia della costante di accoppiamento $\alpha_s(q^2)$ della Cromodinamica quantistica (QCD) è caratterizzato dalla divergenza per piccoli valori di $q^2$, che descrive il fenomeno del confinamento tipico dell'interazione forte. A livello teorico è possibile riprodurre l'andamento della costante di accoppiamento, utilizzando lo sviluppo in serie della teoria perturbativa per $\alpha_s\to0$.
Quando la costante di accoppiamento forte assume valori troppo grandi la teoria perturbativa perde valore e i modelli sviluppano divergenze non fisiche che impediscono di riprodurre il corretto andamento al di sotto di specifici poli energetici non fisici, detti "ghosts". Nel caso dell'interazione forte, al primo ordine perturbativo, si ha un solo polo, detto Polo di Landau a $q^2=\Lambda^2\simeq (300\text{ MeV})^2$, il quale impedisce di riprodurre la divergenza di $\alpha_s(q^2)$ nella regione infrarossa (IR).
In questo contesto, interviene la Teoria delle Perturbazioni Analitica (APT), che sfruttando il principio di causalità che impone l'analiticitá dei propagatori nel piano complesso $q^2$ tagliato lungo il semiasse reale negativo, consente di prolungare analiticamente la funzione $\alpha_s(q^2)$ tramite l'utilizzo della rappresentazione di K\"allén-Lehmann (K-L). Si ottiene una funzione analitica che descrive la soluzione perturbativa di $\alpha_s(q^2)$ nel piano complesso riproducendone anche il comportamento al di sotto di $\Lambda^2$. In particolare la APT prevede per $\alpha_s(q^2)$ un valore costante per $q^2=0$, che quindi non riproduce la divergenza di confinamento.
Questo lavoro ha l'obiettivo di trovare un modello in grado di riprodurre il confinamento, sfruttando l'analiticità applicata dall'APT. In particolare, lavorando con la Costante di Accoppiamento Inversa $\varepsilon_s(q^2)=1/\alpha_s(q^2)$, il confinamento viene tradotto con il suo annullamento in $q^2=0$. Siccome nella K-L compare la parte immaginaria della funzione che si sta prolungando analiticamente, è possibile imporre il confinamento andando ad annullare la parte immaginaria della $\varepsilon_s(q^2)$ semplicemente inserendo una funziona regolarizzatrice $r(q^2)$ nulla in zero e tendente a uno nella regione ultravioletta.
Si sono studiati diversi tipi di funzione regolarizzatrice aventi un andamento a legge di potenza nella regione IR e per ognuno sono stati ottenuti i valori della costante di accoppiamento a $q^2=M_Z^2$, ovvero alla massa del bosone \emph{Z}. Questo approccio consente di ottenere delle previsioni teoriche per quelle osservabili fisiche che dipendono dall'andamento della costante di accoppiamento forte nella regione infrarossa. Tra queste, hanno particolare importanza nell'ambito della fisica delle alte energie il momento magnetico anomalo del muone $a_{\mu}$ e il rapporto di decadimento del leptone tau in adroni rispetto ai leptoni, indicato con $R_{\tau}$.
